Երևանյան Մաթեմատիկական Կոլոկվիում

Yerevan Mathematics Colloquium

Armenia
Initiative of: Yerevan Center of Mathematical Sciences
Organizers: Sevak Mkrtchyan (University of Rochester, USA)
Arshak Petrosyan (Purdue University, USA)
Grigor Sargsyan (Institute of Mathematics of Polish Academy of Science, Poland)
Anush Tserunyan (McGill University, Canada)
Armen Vagharshakyan (Institute of Mathematics, Armenian National Academy of Sciences, Armenia)
Host and partner: ISTC Foundation
Time: Every other Friday at 18:00 Yerevan time (time zone converter)
Duration: 1 hour = 50 minute talk + 10 minute discussion
Online location: Zoom meeting https://mcgill.zoom.us/j/89800606468, password: Art▩▩ (famous Armenian mathematician Emil Art✲✲)
Physical location: no physical gathering because of the Covid situation in Yerevan.
Why attend? See what pure and applied math topics are out there today, hear about cutting edge research, socialize and have free pizza.
Acknowledgements

We thank all our friends and colleagues who helped us spread the word, in particular, Armenak Babayan (Polytechnic Univ), Arman Darbinyan (Slavonic Univ), Khachatur Khachatryan (YSU Math), Petros Petrosyan (YSU Applied Math), Michael Poghosyan (AUA and YSU Math), and Hasmik Sahakyan (Institute for Informatics).


Upcoming talk

2021 Dec 3 Speaker: Michel Kulhandjian (University of Ottawa, Canada)
Title: Uniquely Decodable Code-Division via Augmented Sylvester-Hadamard Matrices
Abstract

We consider the problem of designing binary antipodal uniquely decodable (errorless) code sets for overloaded code division multiplexing applications where the number of signals K is larger than the code length L. Our proposed errorless code set design aims at identifying the maximum number of columns that can be potentially appended to a Sylvester-Hadamard matrix of order L, while maintaining the errorless code property. In particular, we derive formally the maximum number of columns that may be appended to the Sylvester-Hadamard matrix of order L = 8 and use this result as a seed to produce an infinite sequence of designs in increasing L. In the noiseless transmission case, a simple algorithm is developed to uniquely decode all signals. In additive white Gaussian noise (AWGN), a slab-sphere decoding scheme can be utilized for efficient and effective decoding.



Past talks

2021 Nov 19 Speaker: Davit Harutyunyan (University of California Santa Barbara, USA)
Title: From four conditions of convexity to the geometric rigidity of the rotation group and thin domains
Title: Ուռուցիկության չորս պայմաններից մինչև պտտվող խմբի և բարակ տիրույթների երկրաչափական կոշտություն
Abstract

In the first presentation we will provide a brief introduction to the classical theory of the calculus of variations and the four convexity conditions playing an important role in it. In particular, we will show how the quasiconvexity condition is related to the existence of minimizers for integral functionals.
  In the second presentation we will provide some applications of the theory to materials science. In particular we will consider the energy minimization problem and the rigidity questions resulting from it. This will range from the geometric rigidity of the rotation group to that of thin domains, which is a central question in the analysis of deformation and fracture of shells.

Ամփոփում

Առաջին զեկուցման ընթացքում մենք հակիրճ ներածություն կներկայացնենք վարիացիոն հաշվի դասական տեսությանը և դրանում կարևոր դերակատարում ունեցող չորս ուռուցիկ պայմաններին: Մասնավորապես, մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է քվազիուռուցիկության պայմանը կապված է ինտեգրալ ֆունկցիոնալների համար մինիմիզատորների առկայության հետ:
  Երկրորդ զեկույցի ընթացքում մենք կտրամադրենք տեսության որոշ կիրառություններ նյութագիտության մեջ: Մասնավորապես, մենք կդիտարկենք էներգիայի մինիմիզացիայի խնդիրը և դրանից բխող կոշտության հարցերը: Սա ներառելու է պտտման խմբի երկրաչափական կոշտությունից մինչև բարակ տիրույթների կոշտությունը, որը կենտրոնական հարց է պատյվնների դեֆորմացիայի և ճաքերի վերլուծության մեջ:

Presentation and recording
2021 Nov 5 Speaker: Arman Darbinyan (Texas A&M, USA)
Title: Groups as geometric objects and computability
Վերնագիր` Խմբերը իբրև երկրաչափական օբյեկտներ և կարգընթացությունը
Abstract

Groups, being one of the pivotal algebraic objects, occur in almost every area of mathematics. In my introductory talk I will discuss finitely generated infinite (abstract) groups, considering them as geometric objects. I will also talk about some of their connections to computability theory and discuss several important results about these connections.

Ամփոփում

Խմբերը՝ լինելով ամենակենտրոնական հանրահաշվական օբյեկտներից մեկը, հանդիպում են մաթեմատիկայի գրեթե բոլոր ասպարեզներում։ Իմ ներածական ելույթում ես կխոսեմ վերջավոր ծնված անվերջ (աբստրակտ) խմբերի մասին՝ դիտարկելով նրանց իբրև երկրաչափական օբյեկտներ։ Կխոսեմ նաև կարգընթացության տեսության հետ նրանց ունեցած որոշ առնչությունների մասին և կքննարկեմ կարևոր արդյունքներ՝ վերաբերվող այդ առնչություններին։

Presentation
2021 Oct 22 Speaker: Lianna Hambardzumyan (McGill University, Canada)
Title: Structural Results in Communication Complexity (part Ⅱ)
Title: Կառուցվածքային արդյունքներ հաղորդակցման բարդության տեսությունում (մաս Ⅱ)
Abstract

In this talk, I will continue the introduction to Communication Complexity, in particular, I will introduce the model of randomized communicаtion complexity. Then, I will consider Boolean functions that have low communication complexity in this model, and I will discuss new structural results for these functions. I will end the talk with some related open problems.

Ամփոփում

Այս զեկույցում կշարունակվի Հաղորդակցման բարդության տեսության ներածությունը, մասնավորապես՝ կներկայացվի պատահական հաղորդակցման բարդության մոդելը։ Այնուհետև, կքննարկվեն այն ֆունկցիաները, որոնք ունեն ցածր հաղորդակցման բարդություն այս մոդելում։ Այս ֆունկցիաների համար կներկայացվեն նոր կառուվածքային արդյունքներ, և զեկույցը կեզրափակվի մի քանի առչվող բաց պրոբլեմներով։

Notes
2021 Oct 8 Speaker: Lianna Hambardzumyan (McGill University, Canada)
Title: Structural Results in Communication Complexity (part Ⅰ)
Title: Կառուցվածքային արդյունքներ հաղորդակցման բարդության տեսությունում (մաս Ⅰ)
Abstract

Communication Complexity is a subfield of complexity theory that studies the “complexity” of Boolean functions in the following setting: the input is split amongst multiple parties, who want to compute the value of the function together while communicating to each other a minimum number of bits. In this talk, I will give an introduction to Communication Complexity and will discuss new structural results for Boolean functions having low communication complexity.
 This is an introductory talk, no prior knowledge is necessary except knowing the notions of a matrix, matrix rank, and norm.

Ամփոփում

Հաղորդակցման բարդության տեսությունը բարդության տեսության ենթաբաժին է, որն ուսումնասիրում է Բուլյան ֆունկցիաների «բարդությունը» հետևյալ դրվածքում. ֆունկցիայի մուտքային բիթերը բաժանված են մի քանի կողմերի միջև, ում նպատակն է հաշվել ֆունկցիայի արժեքն այդ բիթերի վրա՝ հաղորդակցվելով ամենաքիչ քանակով բիթեր։ Այս զեկույցում կտրվի հաղորդակցման բարդության տեսության ներածություն և կքննարկվի նոր կառուվածքային արդյունքներ այն ֆունկցիաների համար, որոնք ունեն ցածր հաղորդակցման բարդություն։
 Սա ներածական զեկույց է, և նախապես միայն պահանջվում է իմանալ թե ինչ է մատրիցը, մատրիցի կարգը և ինչ` նորմը։

Live notes, prewritten notes and slides
2021 Jun 26 Speaker: Mihran Papikian (Penn State University, USA)
Title: Drinfeld modules and reciprocity laws
Title: Դրինֆելդի մոդուլներ և հակադարձելիության օրենքներ
Abstract

I will discuss some generalizations of Gauss' celebrated quadratic reciprocity law to the setting of division fields of Drinfeld modules. Although this is my the second talk in this seminar on the topic of Drinfeld modules, it will be independent of the first talk. The talk will be mostly expository.

Presentation and recording
2021 Jun 12 Speaker: Mihran Papikian (Penn State University, USA)
Title: Drinfeld Modules: An Introduction
Title: Դրինֆելդի մոդուլներ․ ներածություն
Abstract

Drinfeld modules were introduced in the 1970's by Vladimir Drinfeld, and have since played a crucial role in the resolution of many important problems in number theory, especially those in the Langlands program. I will discuss some of the history and basics of Drinfeld modules, concentrating on the work of Leonard Carlitz from the 1930's.
 This is the first talk of a series of two talks, and it will be entirely expository. The only prerequisite is some knowledge of abstract algebra. In these two talks, I intend to cover some of the material in Sections 5.4, 7.1, 7.3 of the attached (preliminary) textbook on the subject.

Presentation and recording
2021 May 29 Speaker: Arshak Petrosyan (Purdue University, USA)
Title: Thin Obstacle Problem
Title: Բարակ խոչընդոտի խնդիր
Abstract

The goal is to give an introduction to the thin obstacle problem (also known as the Signorini problem) which is a prototypical example of a free boundary problem. Free boundary problems are problems for partial differential equations that feature an apriori unknown set, where a certain discontinuity occurs. We will discuss monotonicity formulas and how to use them to classify the free boundary points.
 The talk will be in Armenian but the slides will be in English.

Ամփոփում

Մեր նպատակն է լինելու ներկայացնել բարակ խոչընդոտի խնդրը (հայտնի նաեւ որպես Սինյորինիի խնդիր), որը ազատ եզրով խնդիրների նախատիպային օրինակ է։ Ազատ եզրով խնդիրները այն խնդիրներն են մասնակի դիֆերենցիալ հավասարումների համար, որոնք պարունակում են ի սկզբանե անհայտ բազմություն, որտեղ խախտվում է որոշակի մեծության անընդհատությունը։ Մենք կքննարկենք մոնոտոնության բանաձևեր և նրանց օգտագործումը ազատ եզրի կետերի դասակարգման հարցում։
 Զեկույցը կներկայացվի հայերեն, սակայն սլայդերը լինելու են անգլերեն։

Presentation and recording
2021 May 15 Speaker: Anush Tserunyan (McGill University, Canada)
Title: Ergodic theorems for group actions
Title: Էրգոդիկ թեորեմներ խմբերի ազդեցությունների համար
Abstract

Dynamics is a broad area of mathematics that studies models of motion in space or evolution of a system. We think of a system as a space of points and evolution as a transformation or a group of transformations of that space. Often the space is equipped with a natural notion of probability which is preserved by the transformations. A significant part of the study of such dynamical systems is occupied by pointwise ergodic theorems, which say that global analytic behaviour is determined by local combinatorics, and vice versa. In this talk, we will discuss groups and their Cayley graphs, measure preserving actions of groups and some known ergodic theorems for them, and finally state a new ergodic theorem for the actions of free groups (Ts.-Zomback 2020).
 No knowledge is needed besides an intuitive understanding of the concepts of a group, convergence of a sequence, and integral of a function.

Ամփոփում

Դինամիկան մաթեմատիկայի բազմածավալ ոլորտ է, որն ուսումնասիրում է տարածության մեջ շարժման կամ համակարգի էվոլյուցիայի մոդելներ: Համակարգը մոդելավորվում է որպես կետերի տարածություն, իսկ նրա էվոլյուցիան` որպես այդ տարածության ձևափոխություն կամ ձևափոխությունների խումբ: Հաճախ այդ տարածությունում սահմանված է հավանականության գաղափար, որը ձևափոխությունների ազդեցությունից չի փոփոխվում` ինվարիանտ է: Այսպիսի դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության զգալի մաս են կազմում կետային էրգոդիկ թեորեմները, որոնք պնդում են, որ գլոբալ անալիտիկ վարքը որոշվում է լոկալ կոմբինատորակայով և հակառակը: Այս զեկույցում կքննարկվեն խմբեր ու նրանց Քելիի գրաֆները, չափը պահպանող խմբերի ազդեցություններ ու նրանց համար հայտնի էրգոդիկ թեորեմներ և վերջապես կձևակերպվի մի նոր էրգոդիկ թեորեմ ազատ խմբերի ազդեցությունների համար (Ծ.-Զոմբակ 2020):
 Ոչ մի գիտելիք չի պահանջվում բացի խմբի, հաջորդականության սահմանի ու ֆունկցիայի ինտեգրալի մասին ինտուիտիվ պատկերացում ունենալուց:

Presentation and recording
2021 May 1 Speaker: Anush Tserunyan (McGill University, Canada)
Title: Ergodicity: from local combinatorics to global analysis and back
Title: Էրգոդիկություն` լոկալ կոմբինատորիկայից դեպի գլոբալ անալիզ և ետ
Abstract

Dynamics is a broad area of mathematics that studies models of motion in space or evolution of a system. We think of a system as a space of points and evolution as a transformation (or a group of transformations) of that space. Often the space is equipped with a natural notion of probability, which is preserved by the transformation, for example, a rotation of the unit circle on the plane. The subject that studies such dynamical systems is ergodic theory. A significant part of this is occupied by pointwise ergodic theorems, which say that global analytic behavior is determined by local combinatorics and vice versa. In this talk, we will introduce the above concepts, state the classical pointwise ergodic theorem (Birkhoff 1931), discuss its applications to number theory and probability theory, as well as new ergodic theorems (Ts.-Zomback 2020).
 No knowledge is needed besides an intuitive understanding of convergence of sequences and integral of a function.

Ամփոփում

Դինամիկան մաթեմատիկայի բազմածավալ ոլորտ է, որն ուսումնասիրում է տարածության մեջ շարժման կամ համակարգի էվոլյուցիայի մոդելներ: Համակարգը մոդելավորվում է որպես կետերի տարածություն, իսկ նրա էվոլյուցիան` որպես այդ տարածության ձևափոխություն (կամ ձևափոխությունների խումբ): Հաճախ այդ տարածությունում սահմանված է հավանականության գաղափար, որը ձևափոխության ազդեցությունից չի փոփոխվում` ինվարիանտ է. օրինակ` հարթության մեջ միավոր շրջանագծի ցանկացած պտույտ: Այսպիսի դինամիկ համակարգերն ուսումնասիրող առարկան էրգոդիկ տեսությունն է: Սրա զգալի մասը զբաղեցնում են կետային էրգոդիկ թեորեմները, որոնք ասում են գլոբալ անալիտիկ պահելաձևը որոշվում է լոկալ կոմբինատորակայով, և հակառակը: Այս զեկույցում կներմուծվեն վերը նշված գաղափարները, կներկայացվի դասական կետային էրգոդիկ թեորեմը (Բիրխոֆ 1931), կքննարկվեն դրա կիրառությունները թվերի տեսության և հավանականության տեսության մեջ, ինչպես նաև նոր էրգոդիկ թեորեմներ (Ծ.-Զոմբակ 2020):
 Ոչ մի գիտելիք չի պահանջվում բացի հաջորդականության սահմանի ու ֆունկցիայի ինտեգրալի մասին ինտուիտիվ պատկերացում ունենալուց:

Presentation and recording
2021 Apr 17 Speaker: Victor Pambuccian (Arizona State University, USA)
Title: Axiomatic problems in ordered geometry and in the arithmetic of the even and the odd
Abstract

In 1882, Moritz Pasch axiomatized ordered geometry, the geometry of betweenness. One of the axioms he proposed was the Pasch axiom. We will look at three versions of the Pasch axiom, one of which implies the two-dimensionality of the space, while the other two allow any higher dimension, and will ask whether the original Pasch axiom, which is a 6-variable statement, is the simplest possible way to axiomatize ordered geometry. In other words, can one axiomatize ordered geometry with statement about no more than 5 points?
 The second part of the presentation will focus on the question why Theodorus of Cyrene stopped in his presentation of the irrationalities of square roots at 17, as Plato lets us know in his dialogue Theaetetus. According to the interpretation of Jean Itard, amplified later by Wilbur Richard Knorr, this happened because the method of proof was based on the arithmetic of the even and the odd. To make this statement exact, we present several axiomatizations of what can be called the arithmetic of the even and the odd, and show that, in one such axiomatization one can prove that the irrationaility of the square root of 17 is unprovable, while in a richer arithmetic of the even and the odd this is still an open problem, the oldest unsolved problem inherited from the ancient Greeks.
 If time permits, I will look at two proofs of the fact that 30 is the largest number all of whose totitives (numbers less than itself and relatively prime with itself) are prime numbers (1 is considered a prime number in this statement), one of which was claimed to be simpler and try to make that statement of simplicity precise.

Presentation and recording
2021 Apr 3 Speaker: Victor Pambuccian (Arizona State University, USA)
Title: Problems in the axiomatic foundation of geometry
Abstract

We will present several problems in the axiomatic foundation of geometry. The first part of the talk will be connected with the Parallel Postulate, and will involve Aristotle's axiom and the Lotschnittaxiom (including results not yet published). Beside results, there will be open problems. The second part will be devoted to the axiomatic foundation of ordered geometry and to the question whether the Pasch axiom is the simplest possible axiom. Here there is one result and a mjor open problem. A third part, if time permits, will be on the axiomatics of the arithmetic of the even and the odd, and the question whether one can prove by even and odd considerations that the square root of 17 is irrational. This goes back to a problem Theodorus of Cyrene had, as reported by Plato in his dialogue Theaetetus.
  The subject matter of the talk is deceptively elementary. The aim of the talk is to show that fundamental questions, that are easily stated, are still open in the foundations of mathematics, that the times when you could answer elementary fundamental questions is not irrevocably past, after the discoveries of the 1930s and 1960s. My hope is that someone in the audience will take up the challenge to solve some open questions.
  The written part will be in English, the spoken part in Armenian.

Presentation and recording
2021 Mar 20 Speaker: Sevak Mkrtchyan (University of Rochester, USA)
Վերնագիր` Պատահական դոմինոներով և շեղանկյուններով մանրատախտակների տեսքը (մաս Ⅱ)
Ամփոփում

Ի՞նչ կլինի, եթե դոմինոներով պատահականորեն սալիկապատենք մի տիրույթ։ Եթե տիրույթը մեծ է, ապա սալիկապատումը, նույնիսկ եթե այն պատահականորեն է ընտրված, կունենա ուշագրավ կանոնավոր հատկություններ։ Նմանապես, եթե սենյակի անկյունում պատահականորեն տեղադրենք բազմաթիվ համանման խորանարդներ և եթե խորանարդների քանակը մեծ լինի, ապա չնայած տեղադրման պատահական լինելուն՝ կտեսնենք որոշ կանոնավոր վարք։ Սրանք, այսպես կոչված, սահմանային տեսքի երևույթի դրսևորումներ են, որը կարելի է դիտարկել որպես մեծ թվերի օրենքի երկրաչափական տարատեսակ։ Այս երկու օրինակները գրաֆների վրա պատահական կատարյալ զուգակցումերի հատուկ դեպքեր են։ Մենք կուսումնասիրենք հետաքրքիր կոմբինատոր կապեր սրանց միջև, կներմուծենք մասշտաբային սահմանի, ֆազերի (հեղուկ, պինդ) և ֆազային անցումների գաղափարները։

Presentation and recording
2021 Mar 13 Speaker: Sevak Mkrtchyan (University of Rochester, USA)
Վերնագիր` Պատահական դոմինոներով և շեղանկյուններով մանրատախտակների տեսքը (մաս Ⅰ)
Ամփոփում

Ի՞նչ կլինի, եթե դոմինոներով պատահականորեն սալիկապատենք մի տիրույթ։ Եթե տիրույթը մեծ է, ապա սալիկապատումը, նույնիսկ եթե այն պատահականորեն է ընտրված, կունենա ուշագրավ կանոնավոր հատկություններ։ Նմանապես, եթե սենյակի անկյունում պատահականորեն տեղադրենք բազմաթիվ համանման խորանարդներ և եթե խորանարդների քանակը մեծ լինի, ապա չնայած տեղադրման պատահական լինելուն՝ կտեսնենք որոշ կանոնավոր վարք։ Սրանք, այսպես կոչված, սահմանային տեսքի երևույթի դրսևորումներ են, որը կարելի է դիտարկել որպես մեծ թվերի օրենքի երկրաչափական տարատեսակ։ Այս երկու օրինակները գրաֆների վրա պատահական կատարյալ զուգակցումերի հատուկ դեպքեր են։ Մենք կուսումնասիրենք հետաքրքիր կոմբինատոր կապեր սրանց միջև, կներմուծենք մասշտաբային սահմանի, ֆազերի (հեղուկ, պինդ) և ֆազային անցումների գաղափարները։

Presentation and recording